Алгебра : углубленный курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие

Автор: Золотарева Н. Д. Попов Ю. А. Сазонов В. В. Семендяева Н. Л. Федотов М. В.

Предмет: Алгебра
Математика
Алгебра и начала математического анализа

Год издания: 2021

Серия: ВМК МГУ – школе

Класс: 10 класс 11 класс

Издательство: Лаборатория знаний

Под редакцией: Федотова М.В.

Возрастное ограничение: 12+

Объем (стр.): 549

Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.
Оплатить доступ к режиму онлайн-чтения.

Книга доступна только по дополнительной подписке.

Узнать подробнее

Книга находится в издательской коллекции:

Коллекция издательства «Лаборатория знаний» «Выпускник. Абитуриент»

Аннотация / Содержание / Библиографическое описание

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, а также учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

От редактора	6
Предисловие	7
Часть I. Теория и задачи	9
1. Элементы теории чисел	9
1.1. Целые числа. Делимость и остатки	9
1.2. Уравнения в целых числах	11
1.3. Смешанные задачи на целые числа	14
1.4. Рациональные и иррациональные числа	17
1.5. Сравнение чисел	19
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции	23
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями	23
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями	27
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства	30
2.4. Смешанные задачи	34
3. Полезные преобразования и замены переменных	35
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полног оквадрата	35
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах	39
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах	43
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах	46
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены	50
4. Нестандартные текстовые задачи	54
4.1. Недоопределённые задачи	54
4.2. Неравенства в текстовых задачах	57
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения	60
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами	63
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета	63
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси	67
5.3. Смешанные задачи	73
6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций	75
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность	75
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности	78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства	83
6.4. Использование графических иллюстраций	89
7. Метод оценок	95
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства	95
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства	98
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями	104
8. Задачи на доказательство	106
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство	106
8.2. Метод математической индукции	109
8.3. Доказательство неравенств и тождеств	111
9. Использование особенностей условия задачи	114
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной	114
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия	118
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия	123
9.4. Смешанные задачи	127
Часть II. Указания и решения	131
1. Элементы теории чисел	131
1.1. Целые числа. Делимость и остатки	131
1.2. Уравнения в целых числах	138
1.3. Смешанные задачи на целые числа	146
1.4. Рациональные и иррациональные числа	154
1.5. Сравнение чисел	159
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции	169
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями	169
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями	180
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства	191
2.4. Смешанные задачи	202
3. Полезные преобразования и замены переменных	218
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полног оквадрата	218
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах	236
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах	245
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах	259
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены	276
4. Нестандартные текстовые задачи	284
4.1. Недоопределённые задачи	284
4.2. Неравенства в текстовых задачах	293
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения	300
5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами	312
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета	312
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси	322
5.3. Смешанные задачи	338
6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций	354
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность	354
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности	360
6.3. Функциональные уравнения и неравенства	376
6.4. Использование графических иллюстраций	392
7. Метод оценок	414
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства	414
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства	422
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями	442
8. Задачи на доказательство	458
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство	458
8.2. Метод математической индукции	468
8.3. Доказательство неравенств и тождеств	477
9. Использование особенностей условия задачи	491
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной	491
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия	501
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия	512
9.4. Смешанные задачи	520
Варианты ДВИ МГУ последних лет	528
Ответы	534
Список литературы	544