Математика : сборник задач по основному курсу: учебно-методическое пособие

Автор: Золотарева Н. Д. Попов Ю. А. Семендяева Н. Л. Федотов М. В.

Предмет: Математика
Алгебра и начала математического анализа

Год издания: 2022

Серия: ВМК МГУ – школе

Класс: 10 класс 11 класс

Издательство: Лаборатория знаний

Под редакцией: Федотова М.В.

Возрастное ограничение: 12+

Объем (стр.): 270

Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.
Оплатить доступ к режиму онлайн-чтения.

Аннотация / Содержание / Библиографическое описание

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, примеры с решениями и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Оглавление
От редактора	6
Предисловие	7
Часть I. Алгебра	9
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения и неравенства	9
1.1. Формулы сокращенного умножения, преобразование алгебраических выражений	9
1.2. Сравнение чисел	12
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем	14
1.4. Квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема Виета	17
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений	22
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов	22
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений	26
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования	28
2.4. Смешанные задачи	32
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения	34
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы двойного и половинного аргументов	34
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению	37
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим	40
3.4. Различные задачи на отбор корней	44
4. Стандартные текстовые задачи	47
4.1. Пропорциональные величины	47
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии	49
4.3. Скорость, движение и время	52
4.4. Работа и производительность	57
4.5. Проценты, формула сложного процента	59
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства	62
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений	62
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования	65
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования	69
5.4. Смешанные задачи	74
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций	77
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента	77
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени, замена тригонометрических выражений	79
6.3. Системы тригонометрических уравнений	83
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства	88
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах различных типов	92
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков	92
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат	97
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств	99
8. Элементы математического анализа	102
8.1. Производная, ее геометрический и физический смыслы. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций	102
8.2. Исследование функций с помощью производной	106
8.3. Первообразные элементарных функций. Основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной	110
9. Текстовые задачи	114
9.1. Скорость, движение и время	114
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии	117
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объемные доли	119
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений	123
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов	126
10.1. Различные приемы раскрытия модулей, системы уравнений и неравенств с модулями	127
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях	131
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах	134
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов	136
11.1. Понятие расщепления. Равносильные преобразования	136
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах	140
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах. Модифицированный метод интервалов	143
11.4. Смешанные задачи	148
Часть II. Геометрия	151
Планиметрия	151
1. Треугольники	151
1.1. Прямоугольные треугольники	151
1.2. Треугольники общего вида. Теоремы синусов, косинусов	156
1.3. Медиана, биссектриса, высота	160
1.4. Подобие треугольников. Теорема Фалеса	163
1.5. Площади	168
2. Окружности	172
2.1. Углы в окружностях. Касание окружности и прямой	172
2.2. Свойства касательных, хорд, секущих	177
2.3. Смешанные задачи	181
3. Многоугольники	185
3.1. Параллелограммы	185
3.2. Трапеции	189
3.3. Четырехугольники общего вида. Правильные многоугольники	193
4. Координаты и векторы	197
4.1. Декартовы координаты и векторы на плоскости	197
Стереометрия	204
Введение в стереометрию	204
5. Призма	207
5.1. Прямая призма	207
5.2. Наклонная призма	211
6. Пирамида	213
6.1. Правильная пирамида	213
6.2. Тетраэдр	215
6.3. Произвольные пирамиды	217
7. Тела вращения	219
7.1. Цилиндр	219
7.2. Конус	221
7.3. Шар	224
8. Координаты и векторы	228
8.1. Декартовы координаты и векторы в пространстве	228
Варианты ДВИ МГУ последних лет	232
Ответы	242
Список литературы	265