| От редактора |
6
|
| Предисловие |
7
|
| Часть I. Алгебра |
9
|
| 1. Элементы теории чисел |
9
|
| 1.1. Целые числа. Делимость и остатки |
9
|
| 1.2. Уравнения в целых числах |
11
|
| 1.3. Смешанные задачи на целые числа |
14
|
| 1.4. Рациональные и иррациональные числа |
17
|
| 1.5. Сравнение чисел |
19
|
| 2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции |
23
|
| 2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями |
23
|
| 2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями |
27
|
| 2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства |
30
|
| 2.4. Смешанные задачи |
33
|
| 3. Полезные преобразования и замены переменных |
34
|
| 3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата |
34
|
| 3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах |
39
|
| 3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах |
42
|
| 3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах |
46
|
| 3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены |
50
|
| 4. Нестандартные текстовые задачи |
53
|
| 4.1. Недоопределённые задачи |
53
|
| 4.2. Неравенства в текстовых задачах |
56
|
| 4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения |
59
|
| 5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами |
63
|
| 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета |
63
|
| 5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси |
67
|
| 5.3. Смешанные задачи |
73
|
| 6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций |
75
|
| 6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность |
75
|
| 6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности |
78
|
| 6.3. Функциональные уравнения и неравенства |
83
|
| 6.4. Использование графических иллюстраций |
89
|
| 7. Метод оценок |
95
|
| 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства |
95
|
| 7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства |
98
|
| 7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями |
104
|
| 8. Задачи на доказательство |
106
|
| 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство |
106
|
| 8.2. Метод математической индукции |
109
|
| 8.3. Доказательство неравенств и тождеств |
111
|
| 9. Использование особенностей условия задачи |
114
|
| 9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной |
114
|
| 9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия |
118
|
| 9.3. Редукция задачи и переформулирование условия |
123
|
| 9.4. Смешанные задачи |
127
|
| Часть II. Геометрия |
131
|
| 1. Треугольники |
131
|
| 1.1. Прямоугольные треугольники |
131
|
| 1.2. Теоремы синусов и косинусов |
143
|
| 1.3. Биссектриса, медиана, высота |
153
|
| 1.4. Подобие треугольников |
165
|
| 1.5. Площадь треугольника |
177
|
| 2. Окружности |
188
|
| 2.1. Углы в окружностях |
188
|
| 2.2. Касательные, хорды, секущие |
199
|
| 3. Четырёхугольники и многоугольники |
211
|
| 3.1. Параллелограммы |
211
|
| 3.2. Трапеции |
219
|
| 3.3. Общие четырёхугольники и многоугольники |
231
|
| 4. Задачи на доказательство |
245
|
| 4.1. Треугольники |
245
|
| 4.2. Многоугольники |
250
|
| 4.3. Окружности |
253
|
| 4.4. Площади |
257
|
| 5. Задачи на построение |
259
|
| 5.1. Алгебраический метод |
259
|
| 5.2. Метод геометрических мест точек |
263
|
| 5.3. Метод симметрии и спрямления |
270
|
| 5.4. Метод параллельного переноса |
274
|
| 5.5. Метод подобия |
281
|
| 5.6. Метод поворота и смешанные задачи |
285
|
| 6. Стереометрия |
290
|
| 6.1. Введение |
290
|
| 6.2. Многогранники |
294
|
| 6.3. Тела вращения |
300
|
| 6.4. Комбинации тел |
306
|
| Ответы |
308
|
| Литература |
324 |
